Задание 24 -- МКТ и термодинамика

Общая характеристика

Задание 24 ЕГЭ по физике -- расчётная задача высокого уровня сложности, оцениваемая в 3 балла.

Требуется привести полное развёрнутое решение с обоснованием выбора физических законов, математическими выкладками и числовым ответом.

Тематика: молекулярная кинетическая теория (МКТ) и термодинамика -- уравнение Менделеева-Клапейрона, изопроцессы, первый закон термодинамики, КПД тепловых машин, теплообмен, влажность воздуха.

Критерии оценивания

Баллы	Критерий
3	Приведено полное решение, включающее: запись необходимых физических законов и формул, описание введённых обозначений, математические преобразования и вычисления, приводящие к правильному числовому ответу с единицами измерения.
2	Верно записаны все необходимые физические законы и формулы, проведены необходимые преобразования, но допущена ошибка в вычислениях или математических преобразованиях, приведшая к неверному ответу.
1	Записаны только исходные физические формулы, необходимые для решения задачи, без математических преобразований и без получения ответа.
0	Все случаи решения, не соответствующие указанным выше критериям. Решение не представлено или представлено неверно.

Важно помнить

Обязательно записывайте физические законы в общем виде
Описывайте все введённые обозначения
Выведите расчётную формулу до подстановки чисел
Указывайте единицы измерения в ответе
Даже при ошибке в вычислениях можно получить 2 балла за верные формулы

Идеальный газ и уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение состояния идеального газа

pV = \nu R T = \dfrac{m}{M} R T

где $p$ -- давление (Па), $V$ -- объём (м³), $\nu$ -- количество вещества (моль), $R = 8{,}314$ Дж/(моль·К), $T$ -- абсолютная температура (К).

Проще: Это главная формула МКТ. Она связывает давление, объём и температуру газа. Если знаете любые три величины -- найдёте четвёртую.

Основное уравнение МКТ

p = n k T, \quad \text{где } n = \dfrac{N}{V}

p = \dfrac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}

Средняя кинетическая энергия одной молекулы:

\overline{E_к} = \dfrac{3}{2} k T

Здесь $k = 1{,}38 \times 10^{-23}$ Дж/К -- постоянная Больцмана.

Внутренняя энергия идеального газа

U = \dfrac{i}{2} \nu R T

Для одноатомного газа ( $i = 3$ ): $U = \frac{3}{2} \nu R T$ .

Для двухатомного газа ( $i = 5$ ): $U = \frac{5}{2} \nu R T$ .

Проще: Внутренняя энергия зависит ТОЛЬКО от температуры. Нагрели -- увеличили, охладили -- уменьшили.

Изопроцессы

Изотермический процесс (T = const)

p_1 V_1 = p_2 V_2 \quad \text{(закон Бойля-Мариотта)}

При постоянной температуре: давление и объём обратно пропорциональны. На pV-диаграмме -- гипербола.

$\Delta U = 0, \quad Q = A = p \Delta V$

Изобарный процесс (p = const)

\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2} \quad \text{(закон Гей-Люссака)}

При постоянном давлении: объём пропорционален температуре.

Работа газа: $A = p \Delta V = p(V_2 - V_1)$

Изохорный процесс (V = const)

\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2} \quad \text{(закон Шарля)}

При постоянном объёме: давление пропорционально температуре.

Работа газа: $A = 0$ , вся теплота идёт на изменение внутренней энергии: $Q = \Delta U$ .

Адиабатный процесс (Q = 0)

pV^{\gamma} = \text{const}, \quad \gamma = \dfrac{C_p}{C_v} = \dfrac{i+2}{i}

Теплообмен с окружающей средой отсутствует. Первый закон: $0 = \Delta U + A$ , т.е. $A = -\Delta U$ .

Проще: Газ расширяется -- охлаждается (работает за счёт внутренней энергии). Сжимается -- нагревается.

Объединённый газовый закон

\dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2}

Используется, когда меняются все три параметра одновременно, но масса газа постоянна.

Первый закон термодинамики

Формулировка

Q = \Delta U + A

Теплота, переданная газу, идёт на изменение внутренней энергии и на совершение работы.

Проще: Энергия не берётся из ниоткуда. Если подвели тепло -- оно либо нагрело газ ( $\Delta U$ ), либо газ поработал ( $A$ ), либо и то и другое.

Работа газа

A = \int p \, dV

Для изобарного процесса: $A = p \Delta V = p(V_2 - V_1)$

Для изохорного процесса: $A = 0$

Для изотермического процесса: $A = \nu R T \ln\dfrac{V_2}{V_1}$

На pV-диаграмме работа газа равна площади под графиком процесса.

Первый закон для каждого изопроцесса

Процесс	Q	ΔU	A
Изотерма (T=const)	A	0	Q
Изобара (p=const)	ΔU + A	$\frac{i}{2}\nu R \Delta T$	$p\Delta V = \nu R \Delta T$
Изохора (V=const)	ΔU	$\frac{i}{2}\nu R \Delta T$	0
Адиабата (Q=0)	0	$-A$	$-\Delta U$

КПД тепловой машины и цикл Карно

КПД тепловой машины

\eta = \dfrac{A}{Q_н} = \dfrac{Q_н - Q_х}{Q_н} = 1 - \dfrac{Q_х}{Q_н}

где $Q_н$ -- количество теплоты, полученное от нагревателя, $Q_х$ -- количество теплоты, отданное холодильнику, $A$ -- полезная работа.

Проще: КПД показывает, какую долю полученного тепла удалось превратить в работу. Всегда $\eta < 1$ .

Цикл Карно (максимальный КПД)

\eta_{\text{Карно}} = 1 - \dfrac{T_х}{T_н}

Это максимально возможный КПД тепловой машины, работающей между температурами $T_н$ (нагреватель) и $T_х$ (холодильник). Температуры -- в Кельвинах!

Проще: Чем больше разница температур нагревателя и холодильника, тем эффективнее машина.

КПД по pV-диаграмме

Для кругового процесса (цикла) на pV-диаграмме:

Работа за цикл $A$ = площадь, ограниченная кривой цикла
$Q_н$ -- сумма теплот на участках, где газ получает тепло
$\eta = A / Q_н$

Количество теплоты и фазовые переходы

Нагревание и охлаждение

Q = cm\Delta T = cm(T_2 - T_1)

где $c$ -- удельная теплоёмкость вещества, $m$ -- масса, $\Delta T$ -- изменение температуры.

Плавление и кристаллизация

Q = \lambda m

где $\lambda$ -- удельная теплота плавления. При плавлении теплота поглощается, при кристаллизации -- выделяется.

Парообразование и конденсация

Q = Lm

где $L$ -- удельная теплота парообразования. При испарении/кипении теплота поглощается, при конденсации -- выделяется.

Уравнение теплового баланса

Q_{\text{отданное}} = Q_{\text{полученное}}

Проще: В замкнутой системе: сколько тепла отдали горячие тела -- столько же получили холодные. Нужно аккуратно расписать все теплоты с учётом фазовых переходов.

Влажность воздуха

Относительная влажность

\varphi = \dfrac{p_п}{p_{\text{нас}}} \times 100\%

где $p_п$ -- парциальное давление водяного пара, $p_{\text{нас}}$ -- давление насыщенного пара при данной температуре.

Точка росы

Точка росы -- температура, при которой пар становится насыщенным (начинается конденсация).

При охлаждении воздуха парциальное давление пара не меняется, но $p_{\text{нас}}$ уменьшается. Когда $p_п = p_{\text{нас}}$ -- достигнута точка росы.

Проще: Точка росы -- та температура, при которой утренняя роса выпадает. Чем влажнее воздух, тем ближе точка росы к текущей температуре.

Алгоритм решения

Пошаговый план решения задания 24

Следуйте этим шагам для получения максимального балла

1

Анализ условия

Определите тему: газовые законы, термодинамика, теплообмен или влажность. Выпишите данные в СИ.

↓

2

Определите процесс

Какой это изопроцесс? Есть ли цикл? Какие величины постоянны?

↓

3

Запишите законы

Запишите все необходимые физические законы: уравнение М-К, первый закон, закон сохранения энергии.

↓

4

Выведите формулу

Получите итоговую расчётную формулу в общем виде (без чисел).

↓

5

Вычислите и проверьте

Подставьте числа, получите ответ с единицами измерения. Проверьте размерность.

Типичные ошибки

Ошибки в оформлении

1. Температура в градусах Цельсия вместо Кельвинов

Главная ошибка в задачах МКТ!

Подставлять t = 27 °C в формулу pV = νRT

Перевести: T = t + 273 = 300 К, затем подставлять

2. Путаница Q, ΔU и A

Q = A + ΔU (забыли знаки)

Q = ΔU + A, где A -- работа ГАЗА (положительна при расширении)

Если газ сжимается, работа газа отрицательна: A < 0

3. Не учтены фазовые переходы при теплообмене

Смешивание воды и льда: Q = cmΔT (забыли плавление)

Сначала λm на плавление, затем cmΔT на нагрев

Ошибки в вычислениях

4. Неверные единицы давления

В формулы подставляйте давление в Паскалях (Па), не в кПа или атм.

1 атм = 10⁵ Па, 1 кПа = 10³ Па

5. Путаница ν (моли) и N (число молекул)

$N = \nu N_A$ , где $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}$ моль^-1.

В уравнение М-К подставляйте $\nu$ , а не N!

6. Забыли, что работа на pV-диаграмме -- площадь

При вычислении работы за цикл нужно считать площадь фигуры, а не разность координат.

Для треугольного цикла: A = 1/2 · Δp · ΔV

Банк заданий

Решено: 0 / 10

Тренажёр

Быстрая проверка знаний

Решайте задачи из банка заданий одну за другой. Старайтесь довести решаемость до 100%.

Используйте подсказки, если задача вызывает затруднение, и обязательно разбирайте решение после каждой попытки.

Шпаргалка

Основные уравнения МКТ

pV = \nu RT

p = nkT

\overline{E_к} = \dfrac{3}{2}kT

U = \dfrac{3}{2}\nu RT

(одноат.)

Газовые законы

p_1V_1 = p_2V_2

(T=const)

\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}

(p=const)

\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}

(V=const)

\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}

Термодинамика

Q = \Delta U + A

A = p\Delta V

(p=const)

\eta = \dfrac{A}{Q_н}

\eta_{\text{К}} = 1 - \dfrac{T_х}{T_н}

Теплообмен и влажность

Q = cm\Delta T

Q = \lambda m

Q = Lm

\varphi = \dfrac{p_п}{p_{\text{нас}}}

Справочные данные

Универсальная газовая постоянная	$R = 8{,}314$ Дж/(моль·К)
Постоянная Больцмана	$k = 1{,}38 \times 10^{-23}$ Дж/К
Число Авогадро	$N_A = 6{,}02 \times 10^{23}$ моль^-1
Удельная теплоёмкость воды	$c = 4200$ Дж/(кг·К)
Удельная теплота плавления льда	$\lambda = 3{,}3 \times 10^5$ Дж/кг
Удельная теплота парообразования воды	$L = 2{,}3 \times 10^6$ Дж/кг